E alla fine .. sono finito nel pallone

La storia innescata da questa formula naturalmente non finisce qui. La ricerca di quali siano i solidi per i quali vale la formula e come essa si modifichi negli altri casi fu uno dei filoni di indagine della nascente topologia nel XIX secolo, con sviluppi che in gran parte ho difficoltà a seguire.

Però, a proposito di pallone, sono rimasto colpito da una curiosa relazione con la formula.

Il pallone da calcio è sostanzialmente un poliedro con le facce pentagonali ed esagonali: il motivo per cui si usano questi poligoni penso che sia per renderlo quanto più possibile vicino ad una sfera; per fare questo bisognerebbe che gli angoli solidi fossero più grandi possibile in ogni vertice: tre esagoni regolari non si possono prendere, perché starebbero sullo stesso piano, 5 triangoli equilateri farebbero 300°, come nell'icosaedro, 3 pentagoni farebbero 324°, come nel dodecaedro, e la soluzione migliore sembra due esagoni e un pentagono che fa 348° (si farebbe lo stesso con un pentagono, due quadrati e un triangolo, vedi qui, oppure un pentagono e quattro triangoli, vedi qui). Infatti questa è la configurazione presente in ogni vertice del pallone. La domanda è: possiamo prendere il numero di pentagoni a piacere? Curiosamente, la formula di Eulero ci costringe a dire di no. Vediamo il motivo.

Le condizioni che ci poniamo sono: 1) le facce sono pentagoni ed esagoni, 2) in ogni vertice si incontrano tre facce. Sia p il numero di pentagoni e h il numero di esagoni. Il numero totale di spigoli, tenendo conto che ogni spigolo appartiene a 2 facce, sarà \( S=\frac{5p+6h}{2} \), mentre il numero dei vertici sarà, tenendo conto che ogni vertice è comune a 3 facce, \( V=\frac{5p+6h}{3} \). Inserendo questi dati nella formula di Eulero viene \( 2=V+F-S= \frac{5p+6h}{3}+(p+h)-\frac{5p+6h}{2}= \frac{p}{6} \) da cui p=12 . I pentagoni devono essere 12, indipendentemente dal numero di esagoni. Per esempio, con 0 esagoni viene il dodecaedro. Nel pallone gli esagoni sono 20, i vertici 60 e gli spigoli 90: il solido risultante è un poliedro quasi regolare chiamato icosaedro troncato. Questo numero di esagoni garantisce la sfericità migliore, perché i vertici stanno su una sfera, e le facce sono distribuite in modo uniforme, perché ogni pentagono è circondato da 6 esagoni, ognuno dei quali tocca 3 pentagoni. Variando il numero di esagoni non si possono più garantire la sfericità e l'uniformità.
Il fatto curioso è che anche la natura sembra sapere queste cose: nel 1985 fu scoperto il fullerene, C₆₀, una molecola costituita da 60 atomi di carbonio distribuiti come i vertici del pallone: si sa che gli atomi di carbonio tendono a formare un esagono, quello del benzene, e in effetti unendo gli esagoni può formare dei fogli, come nel grafene, ma volendo curvare il foglio a formare una specie di palla è costretto a inserire i famosi 12 pentagoni. Ci sono anche fullereni con più atomi, anche se C₆₀ è il più abbondante, ma allora la forma della molecola non è più sferica, e in ogni caso i pentagoni sono sempre 12.

Qui termino, avendo appreso parecchie cose. Per chi vuole approfondire, in rete si trova molto materiale.